一道二次函数小题已知抛物线y=-x^2+2x.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=5/4做垂线,垂足为M.请问:已知抛物线y=-x^2+2x.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=5/4做垂线,垂足为M.请问:对于抛物线上任意一点P,是

Question

一道二次函数小题 已知抛物线y=-x^2+2x.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=5/4做垂线,垂足为M.请问:
已知抛物线y=-x^2+2x.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=5/4做垂线,垂足为M.请问:对于抛物线上任意一点P,是否总存在一点N（1,t）,使PM=PN恒成立,若存在请求出t的值.

Answer 1

答案是肯定的.具体解法如下：设P（x,y）,则PM=5/4-y.PN=根号括号里面的(（x-1）^2 +(y-t)^2).又PN=PM成立,则有（5/4-y）^2=（x-1）^2 +(y-t)^2成立（左右平方了的）.两边打开括号：25/16+y^2-5/2y=x^2-2x+1+y^2+t^2-2yt.消去y^2,再把y=-x^2+2x代入把y消掉,可以得到：25/16=-3/2x^2+2tx^2+3x-4tx+1+t^2由于要恒成立,因此肯定存在x的部分要全部小区（因为x为变量）,所以 -3/2x^2+2tx^2=0 3x-4tx=0 1+t^2=25/16 三式的所解t值要全部同时相等才算成立,解得t=3/4