已知函数f（x）=2sin（x-兀/3）cos（x-兀/3）+2√3cos²（x-兀/3）-√3（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值（2）若函数y=f（2x）-a在区间[0,兀/4]上恰有两个零点x1和x2,求tan（x1+x2

Question

已知函数f（x）=2sin（x-兀/3）cos（x-兀/3）+2√3cos²（x-兀/3）-√3
（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值
（2）若函数y=f（2x）-a在区间[0,兀/4]上恰有两个零点x1和x2,求tan（x1+x2）的值

Answer 1

⑴第一问化简：
f(x)=2sin(x-π/3)*cos(x-π/3)+2√3*cos²(x-π/3)-√3
=sin(2x-2π/3)+√3*cos(2x-2π/3)
=2sin(2x-π/3)
∴f(x)的最大值为2
当2x-π/3=π/2+2kπ
即x=5π/12+kπ 时取到
⑵ 新函数f(x)=2sin(4x-π/3)-a
其周期为T=π/2
所以函数两个零点之间的最近距离为π/4
题设又有函数在[0,π/4] 上恰有两个零点x1和x2
那么一定有x1=0；x2=π/4
∴x1+x2=π/4
tan(x1+x2)=tanπ/4=1