如图，AB为O直径．C，D为O上一点，F为CB延长线上一点，且BC=BD，AC=23．（1）如图1，DF⊥CF，BC=2，证明：DF与O相切；（2）如图2，H为O上的一点，若BD=DH，DH⊥CF于F，求BC的长．

Question

如图，AB为 O直径．C，D为 O上一点，F为CB延长线上一点，且

BC

=

BD

，AC=2√(3)．

（1）如图1，DF⊥CF，BC=2，证明：DF与 O相切；
（2）如图2，H为 O上的一点，若

BD

=

DH

，DH⊥CF于F，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为 O直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=2√(3)，
∴AB=√(BC2+AC2)=4，
∴∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵

BC

=

BD

，
∴∠BOD=2∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠BOD，
∴OD∥BC，
∵DF⊥CF，
∴OD⊥DF，
∴DF与 O相切；
（2） ∵AB为 O直径，
∴∠AHB=90°，
∵

BD

=

DH

=

BC

，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∵FH∥AC，
∴∠DHA+∠CAH=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+90°=180°，
∴∠1=22.5°，
在CA上截取CM=CB，则△BCM为等腰直角三角形，
∴∠BMC=45°，MB=√(2)BC，
∵∠BMC=∠MBA+∠1，
∴∠MBA=∠1=22.5°，
∴AM=BM=√(2)BC，
而CM+AM=AC，
∴BC+√(2)BC=2√(3)，
∴BC=2√(6)-2√(作业搜用户2017-02-03扫描下载二维码©2018 作业搜 联系方式：[e-mail]作业搜协议)