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(2012•包头三模)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,现将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCDE,F为线段A′D的中点(I)求证:EF∥平面A′BC;(II)求三棱锥A′-BCE
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(2012•包头三模)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,现将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCDE,F为线段A′D的中点
(I)求证:EF∥平面A′BC;
(II)求三棱锥A′-BCE的体积.
(I)求证:EF∥平面A′BC;
(II)求三棱锥A′-BCE的体积.
▼优质解答
答案和解析
(I)取A′C的中点M,连接MF,MB,
∵在矩形ABCD中E为AB的中点,F为线段A′D的中点,
∴EB
DC,FM
DC,
∴FM
EB,∴四边形EBMF为平行四边形,
∴EF∥MB,
∵EF⊄平面A′BC,MB⊂平面A′BC,
∴EF∥平面A′BC.
(II)过A′作A′S⊥DE,S为垂直足,
∵平面A′DE⊥平面BCDE,且平面A′DE∩平面BCDE=DE,
∴A′S⊥平面BCDE,
∵矩形ABCD中,AB=4,AD=2,∴A′S=
,
∴VA′−BCE=
S△BEC•A′S=
×
×2×2×
=
.
∵在矩形ABCD中E为AB的中点,F为线段A′D的中点,
∴EB
∥ |
. |
1 |
2 |
∥ |
. |
1 |
2 |
∴FM
∥ |
. |
∴EF∥MB,
∵EF⊄平面A′BC,MB⊂平面A′BC,
∴EF∥平面A′BC.
(II)过A′作A′S⊥DE,S为垂直足,
∵平面A′DE⊥平面BCDE,且平面A′DE∩平面BCDE=DE,
∴A′S⊥平面BCDE,
∵矩形ABCD中,AB=4,AD=2,∴A′S=
2 |
∴VA′−BCE=
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