已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于不同两点A、B，若另有一条直线l经过P（-2，0）及线段AB的中点Q．（1）求k的取值范围；（2）求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Question

已知直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的左支交于不同两点A、B，若另有一条直线l经过P（-2，0）及线段AB的中点Q．
（1）求k的取值范围；
（2）求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

（本小题满分12分）
（1）由

y＝kx−1

x2−y2＝1

，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的左支交于不同两点A、B，
∴

△＝4k2+8(1−k2)＞0

x1+x2＝(2k)/(k2−1)＜0

x1x2＝(2)/(k2−1)＞0

，解得-√(2)＜k＜-1．
∴k的取值范围是（-√(2)，-1）．（6分）
（2）∵直线l经过P（-2，0）及线段AB的中点Q，
设Q（x₀，y₀），∴

作业帮用户 2017-09-30

问题解析

（1）由

y＝kx−1

x2−y2＝1

，得（1-k²）x²+2kx-2=0．再由直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的左支交于不同两点A、B，利用根的判别式和韦达定理能求出k的取值范围．
（2）由直线l经过P（-2，0）及线段AB的中点Q，知直线l的方程为得x-（2k²+k-2）y+2=0，令x=0，解得直线l在y轴上的截距b=(2)/(2k2+k−2)．设f（k）=2k²+k-2=2（k+(1)/(4)）²-(17)/(8)，由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查直线纵截距的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．

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