在解一元二次方程时,小明粗心地将x^2项系数与常数项对换了,使得方程也变了.他正确地解出了这个不同的方程,得到一个根是2,另一个根等于原方程的一个根.那么,原方程两根的平方和是多少?

Question

在解一元二次方程时,小明粗心地将x^2项系数与常数项对换了,使得方程也变了.他正确地解出了这个不同的方程,得到一个根是2,另一个根等于原方程的一个根.那么,原方程两根的平方和是多少?

Answer 1

设两方程的公共根为t
设原方程为：ax^2+bx+c=0,公共根为t,另一根为x1
错误的方程为:cx^2+bx+a=0,一个根为2 ,另一根为t
则代入两方程并相减得：a(t^2-1)+c(1-t^2)=0,得：(a-c)(t^2-1)=0
因为a,c不等,所以有t^2=1,即公共根为1或-1
令P=t^2+x1^2=(t+x1)^2-2tx1=b^2/a^2-2c/a
t=1,对错误方程应用韦达定理：1+2=-b/c,1*2=a/c,得：c=a/2,b=-3c=-3a/2
P=9/4-1=5/4
t=-1,对错误方程应用韦达定理：-1+2=-b/c,-1*2=a/c,得：c=-a/2,b=-c=-a/2
P=1/4+1=5/4