过三角形外一点.向平面做垂线过三角形ABC外一点P,向三角形所在平面做垂线.垂足为O.连接.PA.PB,PC.（1）若PA=PB=PC.角C=90度.则O点是三角形ABCBC边上的什么点.（2）若PA=PB=PC.则O点是三角形ABC的什

Question

过三角形外一点.向平面做垂线
过三角形ABC外一点P,向三角形所在平面做垂线.垂足为O.连接.PA.PB,PC.
（1）若PA=PB=PC.角C=90度.则O点是三角形ABC BC边上的什么点.
（2）若PA=PB=PC.则O点是三角形ABC 的什么心.
（3）若PA⊥PB ,PB⊥PC,PA⊥PC.则O点是三角形ABC 的什么心.

Answer 1

1、中点.
2、外心.
3、垂心.
证明：1、 PA=PB=PC====》OA=OB=OC（斜线相等,则射影也相等）==》O点是外心.
角C=90°,外心在斜边的中点.
2、OA=OB=OC（斜线相等,则射影也相等）==》O点是外心.
3、 ∵PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,
∴PC⊥平面APB,
∵AB∈平面APB
∴PC⊥AB,
∵PO⊥平面ABC,AB∈平面ABC
∴PO⊥AB,
∵PC∩PO=P
∴AB⊥平面PCO,
∵CO∈平面POC,
∴AB⊥CO,
同理BC⊥AO,AC⊥BO,
AO,BO,CO是三条高的一部分,
三条高必交于一点,
∴O是三角形ABC的垂心.