在区间[0，1]上给定曲线y=x2，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积：（1）S1=S2；（2）S=S1+S2最小．

Question

在区间[0，1]上给定曲线y=x²，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积：

（1）S₁=S₂；
（2）S=S₁+S₂最小．

Answer 1

（1）∵S₁=t•t²-∫

t

0

x²dx=(2)/(3)t³，
S₂=∫

1

t

x²dx-（1-t）•t²=(2)/(3)t³-t²+(1)/(3)，
∵S₁=S₂，
∴(2)/(3)t³=(2)/(3)t³-t²+(1)/(3)，
∴t=(√(3))/(3)．
（2）∵S=S₁+S₂=(4)/(3)t³-t²+(1)/(3)（0≤t≤1），
S′=4t²-2t=4t（t-(1)/(2)），令S′=0，得t=0，t=(1)/(2)．
∵函数在（0，(1)/(2)）上S′＜0，在（(1)/(2)，1）上S′＞0，
∴t=(1)/(2)是极小值点，
又S（(1)/(2)）=(1)/(4)，S（0）=(1)/(3)，S（1）=(2)/(3)，
故t=(1)/(2)时，S=S₁+S₂最小．