如图a所示，倾角为45°、高为h的斜面固定在水平地面上，小球从高为H（2h>H>h）的某处自由下落，与斜面碰撞（无能量损失）后做平抛运动．若小球做平抛运动后能直接落到水平地面上

Question

如图a所示，倾角为45°、高为h的斜面固定在水平地面上，小球从高为H（2h>H>h）的某处自由下落，与斜面碰撞（无能量损失）后做平抛运动．若小球做平抛运动后能直接落到水平地面上，自由下落的起始点距斜面左端的水平距离x应满足的条件是___（用符号表示）；若测得x=1m时，小球平抛运动的水平射程s最大，且水平射程的平方s²与x关系如图b所示，则斜面的高h应为___m．

Answer 1

小球与斜面碰撞后做平抛运动，当正好落在斜面底端时，根据几何关系可知，
水平位移x₁=h-x
竖直位移y=h-x
根据平抛运动竖直方向做自由落体运动得：
t=√((2(h-x))/(g))
所以平抛运动的初速度为v0=(h-x)/(t)=(h-x)/(√((2(h-x))/(g)))
小球从释放到与斜面碰撞的过程中，根据动能定理得：
mg（H+x-h）=(1)/(2)mv02
解得：x=h-(4)/(5)H
当小球正好在斜面底端释放时，x最大，则x_max=h
所以若小球做平抛运动后能直接落到水平地面上，自由下落的起始点距斜面左端的水平距离x应满足的条件是h>x>h-(4)/(5)H；
由图可知，当x=1m时，s²=36m²，所以s=6m
则水平方向：s=vt，
竖直方向：h-x=(1)/(2)gt²，
根据动能定理得：
2g（H-h+x）=v²，
联立解得
s²=4（H-h+x）（h-x）=-4[（h-x）²-H（h-x）+(1)/(4)H²]+H²=-4[（h-x）-(H)/(2)]²+H²．
当（h-x）-(H)/(2)=0时，s²取最大值，s最大值为6m，对应的H=6m，斜面的高h=x+(H)/(2)=4m
故答案为：h>x>h-(4)/(5)H；4