设函数f(x)=[x]+[2x]+[5x/3]+[3x]+[4x],x∈[0,100],则f(x)的值域的元素个数为A734B733C701D700

Question

设函数f(x)=[x]+[2x]+[5x/3]+[3x]+[4x],x∈[0,100],则f(x)的值域的元素个数为 A 734 B 733 C 701 D 700

Answer 1

f1(x) = [x],他的取值区间为[n,n+1) ,在这个区间内都取一个值,n为整数,n∈[0,99],共100个,另外当x=100是单独的取值,因此共有101个取值元素；
取值元素为{0,1,2,3,4,5,6,.98,99,100}
f2(x) = [2x],他的取值区间为[n,n+0.5) 和[n+0.5,n+1),在这两个个区间内都各取一个值,n为整数,n∈[0,99],共200个,另外当x=100是单独的取值,因此共有201个取值元素；
取值元素为{0,1,2,3,4,5,6,.198,199,200}
从上面我们可以看到,函数[ax]是每隔1/a长度的数轴区间取一个值,比如
a=1,区间长度为1,取值的个数为[100/1] = 100,因为最后是一个零长度区间,即一个点,总共101个,取值元素为{0,1,2,3,4,.,98,99,100}
a=2,区间长度为0.5,取值个数为[100/0.5] = 200,最后也是一个点,总共201个,取值元素为{0,1,2,3,4,.,198,199,200}
a=5/3,区间长度为0.6,取值个数为[100/0.6] =166余2 ,说明100这个点在第167个区间内,而且第167个区间的长度不够0.6,不必单独另计,因此总共取值为167个,取值元素为{0,1,2,3,4,.,165,166}
a=3,区间长度为1/3,取值个数为[100/(1/3)] = 300 ,100这个点不在前300个区间内,需要单独另计,因此总共取值为301个,取值元素为{0,1,2,3,4,.,298,299,300}
a=4,区间长度为0.25,取值个数为[100/0.25] = 400 ,100这个点不在前400个区间内,需要单独另计,因此总共取值为401个,取值元素为{0,1,2,3,4,.,398,399,400}
知道了每个组成函数的取值范围后还要确定就是所有的5个高斯函数都是同一个x,那么就需要找到区间的对应关系,比如,[x]的取值间隔为1,但是[4x]的取值间隔为0.25,也即是说,在一个长度为1的区间内,[x]只能取一个值,而[4x]却可以取4个值.
今天先答到这里,太困了,还有个图你看了就明白了,不过我初步算的好像应该是732个诶.