两个底半径相等的圆柱体正交后公共部分的体积请问应该用二重积分还是三重积分按理说体积应该用三重积分但是又不涉及不匀密度我主要想知道思路有结果更好我会计算并且知道对

Question

两个底半径相等的圆柱体 正交后 公共部分的体积
请问应该用二重积分 还是三重积分
按理说 体积应该用三重积分 但是又不涉及不匀密度
我主要想知道思路 有结果更好
我会计算 并且知道对称性
复制党 糊弄党 自重

Answer 1

因为密度是均匀的,不用三重积分,
设两个圆柱面,其一x^2+y^2=R^2,母线和Z轴平行,其二x^2+z^2=R^2,母线和y轴平行,
考虑对称性,只计算第一卦限,再乘以8即可,
在第一卦限上,在XOY平面投影D为1/4圆,x^2+y^2=R^2,在XOZ平面也是1/4圆,而在YOZ平面投影是正方形,
V=8∫[D]∫√（R^2-x^2)dxdy
=8∫[0,R]dx∫[0,√（R^2-x^2)]   dy
=8∫[0,R] [0,√（R^2-x^2)] √（R^2-x^2)  y dx
=8∫[0,R](R^2-x^2)dx
=8(R^2x-x^3/3[0,R]
=8(R^3-R^3/3)
=16R^3/3. 
 

 
也可用一元函数积分作,设圆柱面x^2+y^2=R^2和圆柱面x^2+z^2=R^2垂直相交,
在第一卦限内,公共体部分在YOZ平面上投影是正方形,在平行于YOZ平面上可以切出无数正方形“薄片”,边长分别为φ（x)=√（R^2-x^2),ψ(x)=√（R^2-x^2)
面积S(x)=φ（x)*ψ(x)=R^2-x^2,
∴V=8∫[0,R]（R^2-x^2)dx
=8（R^2x-x^3/3)[0,R]
=8(R^3-R^3/3)
=16R^3/3.