将268个数放在一个圆周上,任意连续的20个数字之和等于75,且放在第17号位置的数为3,第83号位置的数为4,第144号位置的数是9,则放在第210号位置的数是————————————

Question

将268个数放在一个圆周上,任意连续的20个数字之和等于75,且放在第17号位置的数为3,第83号位置的数为4,第144号位置的数是9,则放在第210号位置的数是————————————

Answer 1

设268个数为:a1,a2,a3,...a268
因:an+a(n+1)+a(n+2)+...+a(n+19)=a(n+1)+a(n+2)+...+a(n+20)
所以:a(n+20)=an
a(n+20k)=an (其中n,k为自然数)
268/20=13.8
a261=a1
a262=a2
a263=a3
...
a268=a8
而在圆周上,a268紧接着a1,所以a268=a20,则a20=a8
同理,a19=a7,a18=a6,a17=a5,a16=a4,a15=a3,a14=a2,a13=a1
a12=a260=a20=a8,
a11=a259=a(19+12*20)=a19=a7
a10=a258=a(18+12*20)=a18=a6
a9=a257=a(17+12*20)=a17=a5
因此,268个数为:a1,a2,a3,...a8,a5,a6,a7,a8,a1,a2,a3,...a8,...
第21项为:a5,所以a5=a1,同理a6=a2,a7=a3,a8=a4
于是,268个数为:a1,a2,a3,a4,a1,a2,a3,a4,...
按题给条件
a5=a(5+3*4)=a17=3,而a1=a5=3
a3=a(3+4*20)=a83=4
a4=a(4+7*20)=a144=9
而:5(a1+a2+a3+a4)=75
a2=25-a1-a3-a4=9
于是,268个数为:3,9,4,9,3,9,4,9,...
a210=a(10+10*20)=a10=a2=9