（2014•江西二模）若数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n都有6Sn=1-2an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若c1=0，且对任意正整数n都有cn+1-cn=log12an，求证：对任意n≥2，n∈N*都有1c2+1c3+…+1c

Question

（2014•江西二模）若数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意正整数n都有6S_n=1-2a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c₁=0，且对任意正整数n都有c_n+1-c_n=log (1)/(2)a_n，求证：对任意n≥2，n∈N^*都有(1)/(c2)+(1)/(c3)+…+(1)/(cn)＜(3)/(4)．

Answer 1

（1）当n=1时，6S₁=1-2a₁．解得a1＝(1)/(8)；
当n≥2时，6S_n=1-2a_n①，6S_n-1=1-2a_n-1②，
①-②，化简得(an)/(an−1)＝(1)/(4)，
∴{a_n}是首项为(1)/(8)，公比为(1)/(4)的等比数列，
∴an＝(1)/(8)•((1)/(4))n−1=((1)/(2))2n+1．
（2）∵c_n+1-c_n=log (1)/(2)a_n=2n+1，
∴当n≥2时，c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁=（2n-1）+（2n-3）+…+3+0=n²-1，
∴(1)/(cn)＝(1)/((n−1)(n+1))＝(1)/(2)((1)/(n−1)−(1)/(n+1))，
∴(1)/(c2)+(1)/(c3)+…+(1)/(cn)＝(1)/(2)(1−(1)/(3)+(1)/(2)−(1)/(4)+(1)/(3)−(1)/(5)+…+(1)/(n−2)−(1)/(n)+(1)/(n−1)−(1)/(n+1))=(1)/(2)(1+(1)/(2)−(1)/(n)−(1)/(n+1))＝(3)/(4)−(1)/(2)((1)/(n)+

作业帮用户 2017-10-04