如图，点A是抛物线C1：y=12x2+2x+1的顶点，点B是抛物线C2：y=12x2+bx+c的顶点，并且OB⊥OA．（1）求点A的坐标；（2）若OB=25，求抛物线C2的函数解析式；（3）在（2）条件下，设P为x轴上的一个动

Question

如图，点A是抛物线C₁：y=(1)/(2)x²+2x+1的顶点，点B是抛物线C₂：y=(1)/(2)x²+bx+c的顶点，并且OB⊥OA．

（1）求点A的坐标；
（2）若OB=2√(5)，求抛物线C₂的函数解析式；
（3）在（2）条件下，设P为x轴上的一个动点，探究：在抛物线C₁或C₂上是否存在点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵y=(1)/(2)x²+2x+1=(1)/(2)（x+2）²-1，
∴顶点A（-2，-1）
（2）如图1，作AD⊥x轴于点D，BC⊥x于点C，
由（1）得AD=1，OD=2，OA=√(5)
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠ADO=∠OCB=90°，
∵OB⊥OA，
∴∠AOD=∠OBC，
∴△AOD∽△OBC，
∴(BC)/(OD)=(OB)/(OA)，即(BC)/(2)=(2√(5))/(√(5))
∴BC=4，同理可得OC=2，
∴B（2，-4），
∴抛物线C₂：y=(1)/(2)（x-2）²-4，
即y=(1)/(2)x²-2x-2；
（3）设Q（m，n），如图2，在平行四边形QPBO中，
由于对角线平分平行四边形，
∴n=4，可得(1)/(2)m²+2m+1=4或(1)/(2)m²-2m-2=4，
∴m=-2±√(10)或-2或6，
当m=-2时，Q，O，B三点共线，因而不符合条件．
∴Q₁（-2-√(10)，4），Q₂（-2+√(10)，4），Q₃（6，4）．