已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2nb2n-1}的前n项和（n∈N+）．

Question

已知{a_n}为等差数列，前n项和为S_n（n∈N⁺），{b_n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b₂+b₃=12，b₃=a₄-2a₁，S₁₁=11b₄．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_2nb_2n-1}的前n项和（n∈N⁺）．

Answer 1

（I）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q．
由已知b₂+b₃=12，得b₁（q+q²）=12，而b₁=2，所以q+q²-6=0．
又因为q>0，解得q=2．所以，b_n=2ⁿ．
由b₃=a₄-2a₁，可得3d-a₁=8①．
由S₁₁=11b₄，可得a₁+5d=16②，
联立①②，解得a₁=1，d=3，由此可得a_n=3n-2．
所以，数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2，数列{b_n}的通项公式为b_n=2ⁿ．
（II）设数列{a_2nb_2n-1}的前n项和为T_n，
由a_2n=6n-2，b_2n-1=(1)/(2)×4ⁿ，有a_2nb_2n-1=（3n-1）4ⁿ，
故T_n=2×4+5×4²+8×4³+…+（3n-1）4ⁿ，
4T_n=2×4²+5×4³+8×4⁴+…+（3n-1）4ⁿ⁺¹，
上述两式相减，得-3T_n=2×4+3×4²+3×4³+…+3×4ⁿ-（3n-1）4ⁿ⁺¹
=(12×(1-4n))/(1-4)-4-(3n-1)4n+1=-（3n-2）4ⁿ⁺¹-8
得T_n=(3n-2)/(3)×4n+1+(8)/(3)．
所以，数列{a_2nb_2n-1}的前n项和为(3n-2)/(3)×4n+1+(8)/(3)．