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如图,在矩形ABCD中,AD=2,CD=1,连接AC,以对角线AC为边,按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C,再连接AC1,以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1,…,按此规律继续下去,则矩形A
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如图,在矩形ABCD中,AD=2,CD=1,连接AC,以对角线AC为边,按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C,再连接AC1,以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1,…,按此规律继续下去,则矩形ABnCnCn-1的面积为___.
▼优质解答
答案和解析
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD⊥DC,
∴AC=
=
=
,
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C,
∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为
:2
∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5:4,
∵矩形ABCD的面积=2×1=2,
∴矩形AB1C1C的面积=
,
依此类推,矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5:4
∴矩形AB2C2C1的面积=
∴矩形AB3C3C2的面积=
,
按此规律第n个矩形的面积为:
故答案为:
.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD⊥DC,
∴AC=
AD2+CD2 |
22+12 |
5 |
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C,
∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为
5 |
∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5:4,
∵矩形ABCD的面积=2×1=2,
∴矩形AB1C1C的面积=
5 |
2 |
依此类推,矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5:4
∴矩形AB2C2C1的面积=
52 |
23 |
∴矩形AB3C3C2的面积=
53 |
25 |
按此规律第n个矩形的面积为:
5n |
22n-1 |
故答案为:
5n |
22n-1 |
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