在数列{an}中，an>0，Sn为其前n项和，2Sn=4an-1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足对任意n∈N*，都有b1an+b2an-1+…+bna1=2n-12n-1，求数列{bn}的第5项b5．

Question

在数列{a_n}中，a_n>0，S_n为其前n项和，2S_n=4a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足对任意n∈N^*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-(1)/(2)n-1，求数列{b_n}的第5项b₅．

Answer 1

（1）∵2S_n=4a_n-1，当n=1时，2S1=4a1-1⇒a1=(1)/(2)，
又由

2Sn=4an-1

2Sn+1=4an+1-1

，
两式相减得：2a_n+1=4a_n+1-4a_n化为a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是以首项为(1)/(2)，公比为2的等比数列，
∴an=2n-2．
（2）∵an=2n-2，
由b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-(1)/(2)n-1，①
令n=1，则b₁a₁=2-(1)/(2)-1，解得b₁=1．
∵b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-(1)/(2)n-1，
当n≥2时，b₁a_n-1+b₂a_n-2+…+b_n-2a₂+b_n-1a₁=2n-1-(1)/(2)n-(1)/(2)，
将上式两边同乘公比2得，b₁a_n+b₂a_n-1+…b_n-1a₂=2ⁿ-n-1．②
①-②可得：b_na₁=(1)/(2)n，（n≥2），
∴b₅=5．