如图甲所示，一边长为L，质量为m，电阻为R的正方形金属框竖直放置在磁场中，磁场方向垂直方框平面，磁感应强度的大小随y的变化规律为B=B0+ky，k为恒定常数，同一水平面上磁感应强度相

Question

如图甲所示，一边长为L，质量为m，电阻为R的正方形金属框竖直放置在磁场中，磁场方向垂直方框平面，磁感应强度的大小随y的变化规律为B=B₀+ky，k为恒定常数，同一水平面上磁感应强度相同．现将方框从如图所示位置自由下落，重力加速度为g，不计空气阻力，设磁场区域足够大．
（1）判定方框中感应电流的方向；
（2）通过计算确定方框最终运动的状态；
（3）乙图为金属框中感应电动势E与y的关系图．请求出金属框下落H高度过程中产生的内能Q．

Answer 1

（1）由楞次定律得，线框中感应电流方向为逆时针．　　
（2）线框在磁场中，做加速度逐渐减小的变加速运动，直至最后加速度为零，即做匀速运动．                                       
设线框运动t时间后下落h高度，竖直方向速度为v_y，切割产生的电动势
  E=B_下Lv-B_上Lv                         
  I=(E)/(R)                                  
mg-（B_下LI-B_上LI）=ma
又  B_下-B_上=（B₀+ky_下）-（B₀+ky_上）=k（y_下-y_上）=kL
联立解得，a=g-(k2L4vy)/(mR)
则知竖直方向先做加速度减小的变加速运动，最终匀速运动，当a=0时，速度最大，最大速度为v_m=(mRg)/(k2L4)
（3）由图象可得线框下落H高度时做匀速运动
由能量守恒定律得  Q=mgH-(1)/(2)mv_m²=mgH-(m3R2g2)/(2k4L8)
答：
（1）方框中感应电流的方向为逆时针方向；
（2）竖直方向先做加速度减小的变加速运动，最终匀速运动，最终的速度为(mRg)/(k2L4)；
（3）金属框下落H高度过程中产生的内能Q是mgH-(m3R2g2)/(2k4L8)．