sinx四次方的傅氏级数怎么求我算的A0=3/4,An=0,Bn=0,也就是说只有一项,可是这怎么可能呢?A0=3/4就不说了.An=((sinx)^4)*cosnx在-pi到pi上积分除以pi,将sinx四次方将次可以得到3/8+1/8*cos4x-1/2*cos2x,后两项和

Question

sinx四次方的傅氏级数怎么求
我算的A0=3/4,An=0,Bn=0,也就是说只有一项,可是这怎么可能呢?
A0=3/4就不说了.An=((sinx)^4)*cosnx在-pi到pi上积分除以pi,将sinx四次方将次可以得到3/8+1/8*cos4x-1/2*cos2x,后两项和cosnx乘后积分都是0,第一项积分也是0啊,可是答案肯定就是展开式本身有三项,是哪里有毛病?

Answer 1

其实sin(x)^4 = 3/8-1/2·cos(2x)+1/8·cos(4x),右端本身就是Fourier级数了.
问题出在n = 2时∫{-π,π} cos²(2x)dx = ∫{-π,π} (1+cos(4x))/2 dx = π.
n = 4时∫{-π,π} cos²(4x)dx = ∫{-π,π} (1+cos(8x))/2 dx = π.
从原理上可以理解:1,sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...是一组正交基.
不同的项彼此正交(内积为0),而每一项的长度非零(与自身的内积 > 0).