已知a是大于1的实数，且有a3+a-3=p，a3-a-3=q成立．（1）若p+q=4，求p-q的值；（2）当q2=22n+122n-2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+14）的大小，并说明理由．

Question

已知a是大于1的实数，且有a³+a^-3=p，a³-a^-3=q成立．
（1）若p+q=4，求p-q的值；
（2）当q²=2²ⁿ+(1)/(22n)-2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a³+(1)/(4)）的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）∵a³+a^-3=p①，a³-a^-3=q②，
∴①+②得，2a³=p+q=4，
∴a³=2；
①-②得，p-q=2a^-3=(2)/(a3)=1．

（2）∵q²=2²ⁿ+(1)/(22n)-2（n≥1，且n是整数），
∴q²=（2ⁿ-2^-n）²，
∴q²=2ⁿ+2^-n，
又由（1）中①+②得2a³=p+q，a³=(1)/(2)（p+q），
①-②得2a^-3=p-q，a^-3=(1)/(2)（p-q），
∴p²-q²=4，
p²=q²+4=（2ⁿ+2^-n）²，
∴p=2ⁿ+2^-n，
∴a³+a^-3=2ⁿ+2^-n③，
a³-a^-3=2ⁿ-2^-n④，
∴③+④得2a³=2×2ⁿ，
∴a³=2ⁿ，
∴p-（a³+(1)/(4)）=2ⁿ+2^-n-2ⁿ-(1)/(4)=2^-n-(1)/(4)，
当n=1时，p>a³+(1)/(4)；
当n=2时，p=a³+(1)/(4)；
当n≥3时，p<a³+(1)/(4)．