A是n阶矩阵且A3=2E，若B=A2-2A+2E，试证明：B可逆，并求出B-1．

Question

A是n阶矩阵且A³=2E，若B=A²-2A+2E，试证明：B可逆，并求出B^-1．

Answer 1

证明：由题意，得B=A²-2A+2E=A²-2A+A³=A（A²+A-2E）=A（A+2E）（A-E）
由A³=2E，得A可逆，且A−1＝(1)/(2)A2，
且（A-E）（A²+A+E）=E
∴（A-E）^-1=A²-A+E，
而A³+8E=10E，即
（A+2E）（A²-2A+4E）=10E
∴A+2E可逆，且(A+2E)−1＝(1)/(10)(A2−2A+4E)
∴B可逆，且
B−1＝(A−E)−1•(A+2E)−1•A−1＝(1)/(10)(A2+3A+4E)