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如图,四边形ABCD是边长为4的正方形,动点P、Q同时从A点出发,点P沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动.点Q沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动,设运动时间为t秒.(1)当t
题目详情
如图,四边形ABCD是边长为4的正方形,动点P、Q同时从A点出发,点P沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动.点Q沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动,设运动时间为t秒.
(1)当t=2秒时,求证:PQ=CP;
(2)当2<t≤4时,等式“PQ=CP”仍成立吗?试说明其理由;
(3)设△CPQ的面积为S,那么S与t之间的函数关系如何?并问S的值能否大于正方形ABCD面积的一半?为什么?
(1)当t=2秒时,求证:PQ=CP;
(2)当2<t≤4时,等式“PQ=CP”仍成立吗?试说明其理由;
(3)设△CPQ的面积为S,那么S与t之间的函数关系如何?并问S的值能否大于正方形ABCD面积的一半?为什么?
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:当t=2时,(如图1),Q与D重合,P恰好是AB的中点,△CBP≌△DAP,
则PQ=CP;
(2)当2<t≤4时,如图2)Q在CD上,
过Q作QE⊥AB于E,AE=QD=2t-4,AP=t.
PE=t-(2t-4)=4-t.
PB=4-t,PB=PE,BC=EQ
∴△CBP≌△QEP,
∴PC=PQ仍然成立
(3)当0≤t≤2时,(如图3),S=16-S△APQ-S△PBC-S△CDQ=16−
×4(4−t)−
t•2t−
×4(4−2t),
S=-t2+6t,
当2<t≤4时,QD=2t-4,CQ=4-(2t-4)=8-2t.
过P作PF⊥CQ,则PF=4.S=
×4(8-2t)=-4t+16
又∵S=-t2+6t=-(t-3)2+9开口向下对称轴为t=3,
∴0≤t≤2时,S随t增大而增大,
当t=2时,S取得最大值为8.
又∵S=-4t+16,t=
∵2<t≤4
∴2<
≤4
即8>s≥0,
∴S的值不可能超过正方形面积的一半8.
则PQ=CP;
(2)当2<t≤4时,如图2)Q在CD上,
过Q作QE⊥AB于E,AE=QD=2t-4,AP=t.
PE=t-(2t-4)=4-t.
PB=4-t,PB=PE,BC=EQ
∴△CBP≌△QEP,
∴PC=PQ仍然成立
(3)当0≤t≤2时,(如图3),S=16-S△APQ-S△PBC-S△CDQ=16−
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S=-t2+6t,
当2<t≤4时,QD=2t-4,CQ=4-(2t-4)=8-2t.
过P作PF⊥CQ,则PF=4.S=
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2 |
又∵S=-t2+6t=-(t-3)2+9开口向下对称轴为t=3,
∴0≤t≤2时,S随t增大而增大,
当t=2时,S取得最大值为8.
又∵S=-4t+16,t=
16−s |
4 |
∵2<t≤4
∴2<
16−s |
4 |
即8>s≥0,
∴S的值不可能超过正方形面积的一半8.
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