定义在[-1，1]上的奇函数f（x），对任意m、n∈[-1，1]，且m+n≠0时，恒有f(m)+f(n)m+n＞0；（1）比较f（12）与f（13）大小；（2）判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并用定义证明；（3）若a-8x+1

Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x），对任意m、n∈[-1，1]，且m+n≠0时，恒有(f(m)+f(n))/(m+n)＞0；
（1）比较f（(1)/(2)）与f（(1)/(3)）大小；
（2）判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并用定义证明；
（3）若a-8x+1＞0对满足不等式f（x-(1)/(2)）+f（(1)/(4)-2x）＜0对任意x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵(1)/(2)+(−(1)/(3))≠0，∴(f((1)/(2))+f(−(1)/(3)))/((1)/(2)+(−(1)/(3)))＞0，
∴f((1)/(2))+f(−(1)/(3))＞0⇒f((1)/(2))＞−f(−(1)/(3))，
∵f(−(1)/(3))＝−f((1)/(3))，∴f((1)/(2))＞f((1)/(3))．…（3分）
（2）函数f（x）在[-1，1]上为增函数；…（4分）
证明如下：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则f(x2)−f(x1)＝(f(x2)−f(x1))/(x2−x1)(x2−x1)＝(f(x2)+f(−x1))/(x2+(−x1))(x2−x1)＝A，…（6分）
∵x2+(−x1)≠0，且x2、(−x1)∈[−1，1]，  ∴(f(x2)+f(−x1))/(x2+(−x1))＞0，又∵x2−x1＞0，
∴A＞0，∴函数f（x）在[-1，1]上为增函数．…（8分）
（3）∵不等式f（x-(1)/(2)）+f（(1)/(4)-2x）＜0的任意x恒成立，
∴-1≤x-(1)/(2)＜2x-(1)/(4)≤1，
∴(5)/(8)≥x＞−(1)/(4)
∴a-8x+1＞0对满足不等式