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如图,▱ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E.(1)求证:四边形BCED′是菱形;(2)若点P时直线l上的一个动点,请计算P
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如图,▱ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E.
(1)求证:四边形BCED′是菱形;
(2)若点P时直线l上的一个动点,请计算PD′+PB的最小值.
(1)求证:四边形BCED′是菱形;
(2)若点P时直线l上的一个动点,请计算PD′+PB的最小值.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,
∴∠DAE=∠D′AE,∠DEA=∠D′EA,∠D=∠AD′E,
∵DE∥AD′,
∴∠DEA=∠EAD′,
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,
∴∠DAD′=∠DED′,
∴四边形DAD′E是平行四边形,
∴DE=AD′,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥DC,
∴CE=D′B,CE∥D′B,
∴四边形BCED′是平行四边形;
∵AD=AD′,
∵AB=2,AD=1,
∴AD=AD′=BD′=CE=BC=1,
∴▱BCED′是菱形,
(2)∵四边形DAD′E是菱形,
∴D与D′关于AE对称,
连接BD交AE于P,则BD的长即为PD′+PB的最小值,
过D作DG⊥BA于G,
∵CD∥AB,
∴∠DAG=∠CDA=60°,
∵AD=1,
∴AG=
,DG=
,
∴BG=
,
∴BD=
=
,
∴PD′+PB的最小值为
.
∴∠DAE=∠D′AE,∠DEA=∠D′EA,∠D=∠AD′E,
∵DE∥AD′,
∴∠DEA=∠EAD′,
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,
∴∠DAD′=∠DED′,
∴四边形DAD′E是平行四边形,
∴DE=AD′,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥DC,
∴CE=D′B,CE∥D′B,
∴四边形BCED′是平行四边形;
∵AD=AD′,
∵AB=2,AD=1,
∴AD=AD′=BD′=CE=BC=1,
∴▱BCED′是菱形,
(2)∵四边形DAD′E是菱形,
∴D与D′关于AE对称,
连接BD交AE于P,则BD的长即为PD′+PB的最小值,
过D作DG⊥BA于G,
∵CD∥AB,
∴∠DAG=∠CDA=60°,
∵AD=1,
∴AG=
1 |
2 |
| ||
2 |
∴BG=
5 |
2 |
∴BD=
DG2+BG2 |
7 |
∴PD′+PB的最小值为
7 |
看了 如图,▱ABCD中,AB=2...的网友还看了以下:
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