已知F是双曲线C：x2-y28=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，66）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为．

Question

已知F是双曲线C：x²- (y2)/(8)=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6 √(6)）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为___．

Answer 1

由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），
直线AF′的方程为(x)/(-3)+(y)/(6√(6))=1与x²-(y2)/(8)=1联立可得y²+6√(6)y-96=0，
∴P的纵坐标为2√(6)，
∴△APF周长最小时，该三角形的面积为(1)/(2)×6×6√(6)-(1)/(2)×6×2√(6)=12√(6)．
故答案为：12√(6)．