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如图,在等腰△ABC中,CH是底边上的高线,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.(1)证明:∠CAE=∠CBF;(2)证明:AE=BF;(3)以线段AE,BF和AB为边构
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如图,在等腰△ABC中,CH是底边上的高线,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.
(1)证明:∠CAE=∠CBF;
(2)证明:AE=BF;
(3)以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G),记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠ACB的取值范围.
(1)证明:∠CAE=∠CBF;
(2)证明:AE=BF;
(3)以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G),记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠ACB的取值范围.
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答案和解析
(1)证明:∵△ABC是等腰三角形,CH是底边上的高线,
∴AC=BC,∠ACP=∠BCP.
又∵CP=CP,
∴△ACP≌△BCP.
∴∠CAP=∠CBP,即∠CAE=∠CBF.
(2)证明:∵在△ACE与△BCF中,
,
∴△ACE≌△BCF(ASA).
∴AE=BF.
(3)∵由(2)知△ABG是以AB为底边的等腰三角形,
∴S△ABC=S△ABG.
∴AE=AC.
①当∠ACB为直角或钝角时,在△ACE中,不论点P在CH何处,均有AE>AC,所以结论不成立;
②当∠ACB为锐角时,∠CAH=90°-
∠ACB,而∠CAE<∠CAH,要使AE=AC,只需使∠ACB=∠CEA,
此时,∠CAE=180°-2∠ACB,
只须180°-2∠ACB<90°-
∠ACB,
解得:60°<∠ACB<90°.
∴AC=BC,∠ACP=∠BCP.
又∵CP=CP,
∴△ACP≌△BCP.
∴∠CAP=∠CBP,即∠CAE=∠CBF.
(2)证明:∵在△ACE与△BCF中,
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∴△ACE≌△BCF(ASA).
∴AE=BF.
(3)∵由(2)知△ABG是以AB为底边的等腰三角形,
∴S△ABC=S△ABG.
∴AE=AC.
①当∠ACB为直角或钝角时,在△ACE中,不论点P在CH何处,均有AE>AC,所以结论不成立;
②当∠ACB为锐角时,∠CAH=90°-
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此时,∠CAE=180°-2∠ACB,
只须180°-2∠ACB<90°-
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解得:60°<∠ACB<90°.
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