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已知定义在R上的函数f(x)=b−2x2x+a是奇函数(1)求a,b的值;(2)判断f(x)的单调性,并用单调性定义证明;(3)若对任意的t∈R,不等式f(t-2t2)+f(-k)>0恒成立,求实数k的取值范围
题目详情
已知定义在R上的函数f(x)=
是奇函数
(1)求a,b的值;
(2)判断f(x)的单调性,并用单调性定义证明;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t-2t2)+f(-k)>0恒成立,求实数k的取值范围.
b−2x |
2x+a |
(1)求a,b的值;
(2)判断f(x)的单调性,并用单调性定义证明;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t-2t2)+f(-k)>0恒成立,求实数k的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=
=0,
解得b=1,(1分)
∴f(x)=
,
∴f(−x)=
=
=−f(x)=
∴a•2x+1=a+2x,即a(2x-1)=2x-1对一切实数x都成立,
∴a=1,
故a=b=1.(3分)
(2)∵a=b=1,
∴f(x)=
=
−1,
f(x)在R上是减函数.(4分)
证明:设x1,x2∈R且x1<x2
则f(x1)−f(x2)=
−
=-
,
∵x1<x2,
∴2x2>2x1,1+2x1>0,1+2x2>0,
∴f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上是减函数,(8分)
(3)∵不等式f(t-2t2)+f(-k)>0,
∴f(t-2t2)>-f(-k),
∴f(t-2t2)>f(k),
∵f(x)是R上的减函数,
∴t-2t2<k(10分)
∴k>t−2t2=−2(t−
)2+
对t∈R恒成立,
∴k>
.(12分)
∴f(0)=
b−1 |
a+1 |
解得b=1,(1分)
∴f(x)=
1−2x |
a+2x |
∴f(−x)=
1−2−x |
a+2−x |
2x−1 |
a•2x+1 |
2x−1 |
a+2x |
∴a•2x+1=a+2x,即a(2x-1)=2x-1对一切实数x都成立,
∴a=1,
故a=b=1.(3分)
(2)∵a=b=1,
∴f(x)=
1−2x |
1+2x |
2 |
1+2x |
f(x)在R上是减函数.(4分)
证明:设x1,x2∈R且x1<x2
则f(x1)−f(x2)=
2 |
1+2x1 |
2 |
1+2x2 |
=-
2(2x1−2x2) |
(1+2x1)(1+2x2) |
∵x1<x2,
∴2x2>2x1,1+2x1>0,1+2x2>0,
∴f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上是减函数,(8分)
(3)∵不等式f(t-2t2)+f(-k)>0,
∴f(t-2t2)>-f(-k),
∴f(t-2t2)>f(k),
∵f(x)是R上的减函数,
∴t-2t2<k(10分)
∴k>t−2t2=−2(t−
1 |
4 |
1 |
8 |
∴k>
1 |
8 |
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