在高为H,底面半径为R的圆锤内作一内接圆柱体,则圆柱体的底面半径r为多大时(1)圆柱的体积最大?(2)圆柱的表面积最大?用导数来做

Question

在高为H,底面半径为R的圆锤内作一内接圆柱体,则圆柱体的底面半径r为多大时
(1)圆柱的体积最大?
(2)圆柱的表面积最大?
用导数来做

Answer 1

设内接圆柱体半径r,高h.则有r/R=(H-h)/H,变化得：h=(1-r/R)H
(1)圆柱体体积V=πr^2h=πr^2(1-r/R)H=-πHr^3/R+πHr^2=V(r)
求导有V'(r)=-3πHr^2/R+2πHr=-πHr(3r/R-2),当V'(r)=0时取得极大值,此时3r/R-2=0,得：r=2R/3
(2)圆柱体表面积S=2πr^2+2πrh=2πr^2+2πr(1-r/R)H=2π(1-H/R)r^2+2πHr=S(r)
求导有S'(r)=4π(1-H/R)r+2πH.下面要根据1-H/R的取值分类讨论：
i)当1-H/R≥0即H≤R时,S'(r)>0恒成立,取得极大值时r=R,但是此时是一个圆盘,而不是圆柱体,所以没有最大值；
ii)当1-H/RR时,S'(r)=0时取得极大值,此时4π(1-H/R)r+2πH=0,求得：r=HR/[2(H-R)].
综上：当H≤R圆柱体没有最大值；当H>R时,当r=HR/[2(H-R)]时取得最大值.