证明n5-n可不可以除以120,n=1,2,3,.可不可以解释详细一点...应该是证明n^5-n可不可以除以120，n=1,2,3,....

Question

证明n5-n可不可以除以120,n=1,2,3,.
可不可以解释详细一点...
应该是 证明n^5-n 可不可以除以120，n=1,2,3,....

Answer 1

n5-n=(n-1)n(n+1)(n²+1)
120=2*3*4*5
n是奇数时可以被120整除
当n=1时显然成立
当n=3、7、13、17、23、27…时
(n-1)n(n+1)是3个连续的自然数所以能被2、3、4整除 (n²+1)能被5整除
当n=5、15、25、35…时
(n-1)n(n+1)是3个连续的自然数所以能被3整除
因为(n-1)、(n+1)、(n²+1)都为偶数所以能被2、4整除
当n=9、11、19、21、29…时
(n-1) (n+1)中有一个能被3整除另一个就能被5整除
因为(n-1)、(n+1)、(n²+1)都为偶数所以能被2、4整除
所以n5-n当n为奇数时可以被120整除
n是8的倍数是也可以