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(2014•义乌市三模)已知:如图,抛物线y=x2-2x+3与y轴交于点A,顶点是点P,过点P作PB⊥x轴于点B.平移该抛物线,使其经过A、B两点.(1)求平移后抛物线的解析式及其与x轴另一交点C的坐
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(2014•义乌市三模)已知:如图,抛物线y=x2-2x+3与y轴交于点A,顶点是点P,过点P作PB⊥x轴于点B.平移该抛物线,使其经过A、B两点.
(1)求平移后抛物线的解析式及其与x轴另一交点C的坐标;
(2)设点D是直线OP上的一个点,如果∠CDP=∠AOP,求出点D的坐标.
(1)求平移后抛物线的解析式及其与x轴另一交点C的坐标;
(2)设点D是直线OP上的一个点,如果∠CDP=∠AOP,求出点D的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)令x=0,则y=3,
∴点A的坐标为(0,3),
∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2,
∴顶点P(1,2)、B(1,0),
设平移后抛物线的解析式为y=x2+bx+c,
将点A(0,3)、B(1,0)的坐标代入得,
,
解得
,
∴平移后抛物线的解析式为抛物线y=x2-4x+3,
令y=0,则x2-4x+3=0,
解得,x1=1,x2=3,
所以,点C(3,0);
(2)如图,直线OP过P(1,2),
所以,直线OP解析式为y=2x,
①点D在第一象限时,∵∠CD1P=∠AOP,
∴CD1∥y轴,
∴CD1⊥x轴,
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同,都是3,
x=3时,y=2×3=6,
∴点D1(3,6),
②点D在第三象限时,
∵∠CD1P=∠AOP,∠CD2P=∠AOP,
∴∠CD1P=∠CD2P,
∴CD1=CD2,且CD2=CD1=6,
设D2(x,2x),则
=6,
整理得,5x2-6x-27=0,
解得x1=3(为点D1,舍去),x2=-
,
所以,点D1(3,6)、D2(-
,-
).
∴点A的坐标为(0,3),
∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2,
∴顶点P(1,2)、B(1,0),
设平移后抛物线的解析式为y=x2+bx+c,
将点A(0,3)、B(1,0)的坐标代入得,
|
解得
|
∴平移后抛物线的解析式为抛物线y=x2-4x+3,
令y=0,则x2-4x+3=0,
解得,x1=1,x2=3,
所以,点C(3,0);
(2)如图,直线OP过P(1,2),
所以,直线OP解析式为y=2x,
①点D在第一象限时,∵∠CD1P=∠AOP,
∴CD1∥y轴,
∴CD1⊥x轴,
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同,都是3,
x=3时,y=2×3=6,
∴点D1(3,6),
②点D在第三象限时,
∵∠CD1P=∠AOP,∠CD2P=∠AOP,
∴∠CD1P=∠CD2P,
∴CD1=CD2,且CD2=CD1=6,
设D2(x,2x),则
(x−3)2+(2x)2 |
整理得,5x2-6x-27=0,
解得x1=3(为点D1,舍去),x2=-
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所以,点D1(3,6)、D2(-
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