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(2012•松江区三模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.已知曲线C上任意一点P(x,y)(其中x≥0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1.(1)求曲线C的轨迹方程;(2)若过点F(1
题目详情
(2012•松江区三模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.已知曲线C上任意一点P(x,y)(其中x≥0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)若过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的A,B两点,求
•
的值;
(3)若曲线C上不同的两点M、N满足
•
=0,求|
|的取值范围.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)若过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的A,B两点,求
OA |
OB |
(3)若曲线C上不同的两点M、N满足
OM |
MN |
ON |
▼优质解答
答案和解析
(1)依题意知,动点P到定点F(1,0)的距离等于P到直线x=-1的距离,曲线C是以原点为顶点,F(1,0)为焦点的抛物线
∵
=1,∴p=2,
∴曲线C方程是y2=4x
(2)当l平行于y轴时,其方程为x=1,由
,解得A(1,2),B(1,-2)
此时
•
=1−4=−3
当l不平行于y轴时,设其斜率为k,则由
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=1,x1+x2=
∴
•
∵
p |
2 |
∴曲线C方程是y2=4x
(2)当l平行于y轴时,其方程为x=1,由
|
此时
OA |
OB |
当l不平行于y轴时,设其斜率为k,则由
|
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=1,x1+x2=
2k2+4 |
k2 |
∴
OA |
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