如图所示的传送带，其水平部分ab的长度为2m，倾斜部分bc的长度为4m，bc与水平面的夹角为α=37°．将一小物块A（可视为质点）轻轻放于a端的传送带上，物块A与传送带间的动摩擦因数为μ=0.25

Question

如图所示的传送带，其水平部分ab的长度为2m，倾斜部分bc的长度为4m，bc与水平面的夹角为α=37°．将一小物块A（可视为质点）轻轻放于a端的传送带上，物块A与传送带间的动摩擦因数为μ=0.25．传送带沿图示方向以v=2m/s的速度匀速运动，若物块A始终未脱离皮带．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：（1）小物块从a端被传送到b端所用的时间．
（2）小物块被传送到c端时的速度大小．
（3）若当小物块到达b 端时，传送带的速度突然增大为v^′，问v^′的大小满足什么条件可以使小物块在倾斜传送带bc上运动所用的时间最短？

Answer 1

（1）小物块在水平传送带上运动时受力如图a所示，加速度a1＝μg＝2.5m/s2
加速过程的位移为x1＝(v2)/(2a1)=0.8m，则A在水平带上先加速后匀速
t＝(v)/(a1)+(lab−x1)/(v)＝1.4s
故小物块从a端被传送到b端所用的时间为1.4s．
（2）小物块在倾斜传送带上运动时受力如图b所示，
因为mgsin37°＞μmgcos37°，则A在bc段做匀加速运动，
加速度a2＝g(sin37°−μcos37°)＝4m/s2
由运动学公式 vc2−v2＝2albc 
解得：v_c=6m/s
故小物块被传送到c端时的速度大小为6m/s．
（3）要使小物块在倾斜传送带上运动时所用时间最短，则加速度要最大，即传送带对小物块的滑动摩擦力沿带向下a3＝g(sin37°+μcos37°)＝8m/s2，且一直加速．
由v′²-v²=2a₃l_bc
解得v3＝2√(17)m/s
则v的大小应满足v≥2√(17)m/s可以使小物块在倾斜传送带bc上运动的时间最短．