不定积分：假分式如何化成真分式?有什么技巧吗?例如(3X^4+X^2+1)/(X^2+X-6)求总结性的方法分母拆分有什么技巧?根据什么来怎么拆分增补?50分送上

Question

不定积分：假分式如何 化成真分式?有什么技巧吗?例如 (3X^4+X^2+1)/(X^2+X-6) 求总结性的方法
分母拆分有什么技巧?根据什么来怎么拆分增补?
50分送上

Answer 1

一个假分数可以化为带分数的形式,与其相类似,如果一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数,那么就可以将分式化成整式部分与分式部分的和.这种方法称为拆分法.运用拆分法可以解决许多分式运算中较为复杂的问题.
首先,看分母上最高次项的系数,与分母最高次项系数的比值,提出最大公约数乘以分母,减去多余出来的项,加上减出去的项
3x^4
=3x^2(x^2+x-6)-3x^3+18x^2

3x^4+x^2+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x^3+18x^2+x^2+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x^3+19x^2+1
然后,通向的方法拆分剩下的最高次项
-3x^3
=-3x(x^2+x-6)+3x^2-18x

3x^2(x^2+x-6)-3x^3+19x^2+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+3x^2-18x+19x^2+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+22x^2-18x+1

最后,剩下的和分母的最高次项相同,还能拆解最后一次,同样的方法
22x^2
=22(x^2+x-6)-22x+132

3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+22x^2-18x+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+22(x^2+x-6)-22x+132-18x+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+22(x^2+x-6)-40x+133

约分以后剩下：3x^2-3x+22-(40x-133)/(x^2+x-6)
分母可以分解因式,分解后得(x+3)(x-2)
剩下的分数分母上剩下的明显可以分成(x-2)的倍数加一个常数的式子
3x^2-3x+22-(40x-133)/(x^2+x-6)
=3x^2-3x+22-[40(x-2)-53)/(x+3)(x-2) 约分,得
=3x^2-3x+22-40/(x+3)+53/(x+3)(x-2)