求给出逻辑中蕴含的严格定义用书上是是而非的描述实在难以理解蕴含的真值表,我曾经以为逻辑中的蕴含和集合中的包含是相关的,甚至我难以理解蕴含为什么会有真值,可能是此蕴含非彼蕴

Question

求给出逻辑中蕴含的严格定义
用书上是是而非的描述实在难以理解蕴含的真值表,我曾经以为逻辑中的蕴含和集合中的包含是相关的,甚至我难以理解蕴含为什么会有真值,可能是此蕴含非彼蕴含,受到了字面上的误导,所以求大神能拍醒,最好给出蕴含的定义,谢谢!

Answer 1

相信你已经知道“命题”、“命题真值”、“复合命题”、“联结词”、“真值表”这些概念了.那请记住：在逻辑学中,“蕴含”就是一种“联结词”.
　　既然是联结词,那么它的定义就可以由它的真值表给出.而且,应该像使用其他联结词——且、或——一样使用“蕴含”.蕴含的符号表示：
　　　　P→Q；读作：（命题）P蕴含（命题）Q；
　　该复合命题的真值表也就是蕴含的定义,确定了在P、Q为何值时P→Q为真；以及何时为假.真值表书上有,共4行.因为所有命题都只有“真”、“假”二值,所以可简单地将这个真值表概括为一句话：
　　只有在P＝真、Q＝假时,P→Q才为假；或者：
　　（要想P→Q为真,那么）P为真时,Q必须也为真；
这就是蕴含的定义了.

至于集合上的“包含”关系,不能简单地与“蕴含”划等号,不过它们却也有很深刻的联系.
　　不管是在集合上还是在日常用语中,“包含”都是指“整体涵盖部分”.而且,这既可以指形式上的,也可以指内容上的；既可以是具体实物上的,也可以是抽象的概念,甚至思想上的.相比之下,蕴含的使用范围就小得多了.
　　单说逻辑上的蕴含,它就只能用于两个“命题”之间；反映的是两个命题的真值之间的一种必然联系.非命题,是无论如何不能用逻辑“蕴含”来形容的——这是概念问题.

　　集合和它的元素自然都不可以简单地当作“命题”处理,所以不能直接用“蕴含”表示它们的关系.——不过,利用集合上的“包含”、“属于”关系,却可以很简单地构造“命题”：
　　A包含B、A不包含C、x属于A……这就是命题,有了命题就可以建立蕴含关系了.
最明显地具备蕴含关系的命题是这样的：
　　大前提：A包含B；
　　P：x属于B；
　　Q：x属于A；
那么：
　　P→Q必为真；
即：P蕴含Q.它表达的集合含义就是：
　　子集的元素,一定属于父集；或：
　　如果一个元素属于某个集合的某个子集,那么它一定也属于这个集合本身；

由此可以总结出这样一条规律：
　　“包含”所指的是：整体对部分的涵盖关系；
　　“逻辑蕴涵”则指：两个命题间的确定的、必然的关系；例如：
　　　　如果属于“部分”,那就必然属于“整体”；
　　——似乎与“包含”恰恰相反.虽然我们不能因此就认为“逻辑蕴含”就是“包含”的反面,但这毕竟代表了一大类蕴含关系.而且,这也是造成我们混淆包含与蕴含,甚至把“必要条件”错当成“充分条件”的一个重要原因.