一个直径3m的罐,水位3m,底部开个100mm的孔,多长时间可以把水放空?

Question

一个直径3m的罐,水位3m,底部开个100mm的孔,多长时间可以把水放空?

Answer 1

这个问题不好计算,跟罐底形状和孔口竖向位置都有关系,而且开始时和接近终了时水流情况及其复杂,只能作一些假设和近似计算；
如在内直径为D的平底直罐底面上开直径为d的圆孔,则孔口面积S=πd²/4,当水位高度是h时,孔口水流流速√(gh)；因而孔口出水流量Q=(πd²/4)*√(gh)；
t时间内直径为D的直罐内水位从H=3米下降到h,则流出水体积 V=(πD²/4)*(H-h)；
由 dV=Qdt,即-(πD²/4)dh=[(πd²/4)*√(gh)]dt；
对h~t微分方程积分得：T=-2(D/d)²√(h/g)+C；
当T=0时h=H,故上式中的积分常数C=2(D/d)²√(H/g)；
∴T=2(D/d)²(√H-√h)/√g；
水放空时h=0,则T=2(D/d)²√(H/g)=2(3/0.1)²√(3/9.8)≈996（秒）=16.6分钟；