（2006•浦东新区二模）已知：二次函数y=（n-1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上．（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；（2）求证：函数y=m2x2+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两

Question

（2006•浦东新区二模）已知：二次函数y=（n-1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上．
（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；
（2）求证：函数y=m²x²+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两个不同的交点；
（3）如果函数y=m²x²+2（n-1）x-1的图象与x轴相交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），与y轴相交于点C，且△ABC的面积等于2．求这个函数的解析式？

Answer 1

（1）∵二次函数y=（n-1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上，
∴n-1≠0，△=4m²-4（n-1）=0．
∴m²=n-1≠0．
又∵m²≥0，∴n-1＞0．
∴这个函数图象的开口方向向上．
（2）∵m²≠0，
∴这个函数是二次函数．△=4（n-1）²+4m²．
∵m²=n-1≠0，∴（n-1）²＞0，m²＞0．
∴△＞0．
∴函数y=m²x²+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两个不同的交点．
（3）由题意，得x1+x2＝−(2(n−1))/(m2)，x1x2＝−(1)/(m2)．
∵m²=n-1，∴x1+x2＝−(2(n−1))/(m2)＝−2．
而AB=|x₁-x₂|，点C的坐标为（0，-1）．
∴(1)/(2)|x1−x2|×1＝2．
∴|x₁-x₂|=4．
∴(x1−x2)2＝(x1+x2)2−4x1x2＝(−2)2+(4)/(m2)＝16．
∴m2＝(1)/(3)．
∴n−1＝(1)/(3)．
∴所求的函数解析式为y＝(1)/(3)x2+(2)/(3)x−1．