兔子在猎豹北100米处,二者相互发现对方.兔子以10米/秒的速度向东逃跑,已知猎豹的速度是兔子的3倍,猎豹追击猎豹追击的方向时时刻刻指向兔子(沿曲线运动),试问,多长时间猎豹追上兔子?

Question

兔子在猎豹北100米处,二者相互发现对方.兔子以10米/秒的速度向东逃跑,已知猎豹的速度是兔子的3倍,猎豹追击
猎豹追击的方向时时刻刻指向兔子(沿曲线运动),试问,多长时间猎豹追上兔子?

Answer 1

找到解答啦.
设猎豹的出发点为坐标原点,向东为x轴正方向.
则 3((100-y)/y'+x)=∫(1+(y')^2)^(1/2)dx
积分限为0到x
上面两边微分,解微分方程为
x=300/8*(1-t^2)^2 (猎豹的横坐标)
y=100*(1-t^3) (猎豹的纵坐标)
y'=2*t/(1-t^2) (猎豹轨迹的斜率)
s=300/8*(3-2t^2-t^4) (猎豹的行程)
参数t的意义是猎豹的运动方程倾斜角的一半的正切
刚开始时,倾斜角为90度,t=tan(Θ/2)=1;之后一直减小
令y=100,得 t=0,(说明猎豹追上时方向为正东)
代入得
x = 37.5 米
所以 ,追上的时间为

T= x/10= 3.75(s)