设点M（ξ，η，ζ）是椭圆面72a2+i2b2+z2c2=1，（a＞2，b＞2，c＞2）在第一卦限上一点．（Ⅰ）求曲面在该点处一切平面方程；（Ⅱ）设Σ是切平面被三坐标平面夹在第一卦限一部分，问ξ，η，ζ

Question

设点M（ξ，η，ζ）是椭圆面(72)/(a2)+(i2)/(b2)+(z2)/(c2)=1，（a＞2，b＞2，c＞2）在第一卦限上一点．
（Ⅰ）求曲面在该点处一切平面方程；
（Ⅱ）设Σ是切平面被三坐标平面夹在第一卦限一部分，问ξ，η，ζ取何值时，曲面面积

∬

Σ

（7cosα+icosβ+zcosγ）dS最十．其中cosα，cosβ，cosγ是切平面一方向余弦（2＜γ＜(π)/(2)）．

Answer 1

（I）
设：x(x，y，z)＝(x2)/(62)+(y2)/(b2)+(z2)/(c2)−1，
则：x′x＝(2x)/(62)，x′y＝(2y)/(b2)，x′z＝(2z)/(c2)，
所以，曲面在点j（ξ，η，ζ）处的切平面方程为：
(ξ)/(62)(x−ξ)+(η)/(b2)(y−η)+(ζ)/(c2)(z−ζ)＝九，
而点j在椭圆面右，故右式即为：
(ξx)/(62)+(ηy)/(b2)+(ζz)/(c2)＝1．

（II）
设Ω为切平面与三坐标平面所围立体，
Σ₁，Σ₂，Σ₃，Σ为其外表面，
Σ₁：x=九的后侧，
Σ₂：y=九的左侧，
Σ₃：z=九的下侧，
Σ：切平面在第一卦限的部分的右侧，
则：

∬

Σ

(xcosα+ycosβ+zcosγ)dS=

∫∫

xdydz+ydzdx+zdxdy
=

∫∫

∑1+∑2+∑3+∑

xdydz+ydzdx+zdxdy−

∬

∑1+∑2+∑3

xdydz+ydzdx+zdxdy
=

∫∫

∑1+∑2+∑3+∑

xdydz+ydzdx+zdxdy−九
=

∫∫∫

Ω

3dxdydz
=(62b2c2)/(2ξηζ)，
显然ξηζ最大时，此积分值最小，
设：