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设函数f（x）在区间[1，+∞）内二阶可导，且满足条件f（1）=f′（1）=0，x＞1时f″（x）＜0，则g（x）=f(x)x在（1，+∞）内（）A．曲线是向上凹的B．曲线是向上凸的C．单调减少D．单调增
题目详情
设函数f（x）在区间[1，+∞）内二阶可导，且满足条件f（1）=f′（1）=0，x＞1时f″（x）＜0，则g（x）=
在（1，+∞）内（ ）
A．曲线是向上凹的
B．曲线是向上凸的
C．单调减少
D．单调增加
| f(x) |
| x |
A．曲线是向上凹的
B．曲线是向上凸的
C．单调减少
D．单调增加
▼优质解答
答案和解析
因为函数f（x）在区间[1，+∞）内二阶可导，
且满足条件f（1）=f′（1）=0，g（x）=
，
所以g′(x)＝
，
设F（x）=xf'（x）-f（x），
则F'（x）=xf''（x）＜0，
又x＞1时f″（x）＜0，
故F（x）单调减少，
F（x）＜F（1）=0，
知g'（x）＜0．
所以g（x）=
在（1，+∞）内单调减少，
对于曲线的凹凸性无法判断，
故选：C．
且满足条件f（1）=f′（1）=0，g（x）=
| f(x) |
| x |
所以g′(x)＝
| xf′(x)−f(x) |
| x2 |
设F（x）=xf'（x）-f（x），
则F'（x）=xf''（x）＜0，
又x＞1时f″（x）＜0，
故F（x）单调减少，
F（x）＜F（1）=0，
知g'（x）＜0．
所以g（x）=
| f(x) |
| x |
对于曲线的凹凸性无法判断，
故选：C．
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