如图所示，一质量m=2kg的滑块从高h=1.5m处无初速度下落，沿切线方向进入固定的14粗糙圆弧AB，圆弧半径R=1.5m，再经长l=4m的粗糙平面BC滑上静止于光滑水平地面上质量M=4kg的足够长的长木板，

Question

如图所示，一质量 m=2kg的滑块从高h=1.5m处无初速度下落，沿切线方向进入固定的(1)/(4)粗糙圆弧AB，圆弧半径R=1.5m，再经长l=4m的粗糙平面BC滑上静止于光滑水平地面上质量M=4kg的足够长的长木板，长木板M的上表面与BC面齐平，与C点的间隙可忽略，滑块滑至C点时的速度v_c=6m/s．当滑块m滑至长木板M上表面的同时施加给M-个大小F=6N的水平向右的作用力，经t₀=1s撤去F．已知滑块m与粗糙圆弧AB，粗糙平面BC及M的上表面的动摩擦因数均为μ=0.2，（g取10m/s²）求：

（1）滑块m在粗糙圆弧AB上运动时克服摩擦力所做的功．
（2）滑块m与长木板M的最终速度的大小及滑块m在长木板M上表面上滑动时所产生的热量．

Answer 1

（1）物块到达C点的速度为v_C，由动能定理得：
mg(h+R)-μmg•l-WfAB=(1)/(2)m

v

2 C

-0
代入数据解得：W_fAB=8J，
即滑块m在粗糙圆弧AB上运动时克服摩擦力所做的功的8J．
（2）m与M之间的摩擦力：f=μmg=0.2×2×10=4N
m在长木板上做加速运动，加速度：a1=(f)/(m)=(4)/(2)=2m/s2
1s后滑块的速度：v₁=v_C-a₁t₀=6-2×1=4m/s
对长木板进行受力分析可知，长木板在水平方向受到向右的拉力和m对M的向右的摩擦力，长木板的加速度：a2=(f+F)/(M)=(4+6)/(4)=2.5m/s2
1s后长木板的速度：v_木=a₂t₀=2.5×1=2.5m/s
可知，1s后长木板的速度仍然小于滑块的速度，设物块和小车的最终速度为v，选取向右为正方向，由系统动量守恒得：mv₁+Mv_木=（m+M）v
代入数据得：v=3m/s
长木板在1s内的位移：x1=(1)/(2)a2

t

2 0

=(1)/(2)×2.5×12=1.25m
滑块在1s内的位移：x2=vCt0-(1)/(2)a1

t

2 0

=6×1-(1)/(2)×2×12=5m
该段时间内滑块相对于长木板的位移：△x=x₂-x₁=5-1.25=3.75m
产生的热量：Q₁=f•△x=4×3.75=15J
撤去拉力后产生的热量为：Q2=(1)/(2)m

v

2 1

+(1)/(2)M

v

2 木

-(1)/(2)(m+M)v2=(1)/(2)×2×42+(1)/(2)×4×2．52-(1)/(2)×(2+4)×32=1.5J
所以滑块m在长木板M上表面上滑动时所产生的热量：Q=Q₁+Q₂=15+1.5=16.5J
答：（1）滑块m在粗糙圆弧AB上运动时克服摩擦力所做的功是8J．
（2）滑块m与长木板M的最终速度的大小是3m/s；滑块m在长木板M上表面上滑动时所产生的热量是16.5J．