若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出二次函数y=x2-2x+3的一个“同簇二次函数”；（2）已知关于x的二次函数y1=x2-2x+3和y2=ax2+bx

Question

若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出二次函数y=x²-2x+3的一个“同簇二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y₁=x²-2x+3和y₂=ax²+bx+2，若y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，求函数y₂的表达式．
（3）已知二次函数y₁=x²-2x+3，若y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，请直接写出符合要求的二次函数y₂的所有表达式．（可用含字母的解析式表示）

Answer 1

（1）∵y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴y=x²-2x+3的一个“同簇二次函数”为y=2（x-1）²+2；
（2）y₁+y₂=x²-2x+3+ax²+bx+2
=（a+1）x²+（b-2）x+5，
∵y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，
∴y₁+y₂=（a+1）（x-1）²+2
=（a+1）x²-2（a+1）x+（a+1）+2．
其中a+1>0，即a>-1．
∴

b-2=-2(a+1)

5=a+1+2

．
解得：

a=2

b=-4

．
∴函数y₂的表达式为：y₂=2x²-4x+2．
（3）二次函数y₂的所有表达式y₂=n（x²-2x+1）（n>0）．