大一高数题（泰勒,单调性）左边不等式利泰勒公式,在x0=a+b/2用展开右边利用单调性请详解

Question

大一高数题（泰勒,单调性）

左边不等式利泰勒公式,在x0=a+b/2用展开   右边利用单调性
请详解

Answer 1

这道题的要点有两个：一是泰勒公式展开,二是一点凹凸性的知识.具体请看图片：


至于右边的不等式的证法是怎么想到的,其实是有规律的.因为谁也不可能一上来就想到用图中的不等式来积分,关键是要用题中给出的f''(x)>0这一条件：f''(x)>0说明f(x)在[a,b]上是凹函数,而凹函数的实质就是区间上任意两点间,函数的曲线一定在这两点连成的直线的下方,抓住这个凹函数的几何本质,也就可以得到图中那个关键的不等式了.