欧拉线如何证明?老师的证明是错的,想知道正确的证明

Question

欧拉线如何证明?
老师的证明是错的,想知道正确的证明

Answer 1

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
　　莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.他证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.
　　欧拉线的证明：
　　作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’
　　∵ BD是直径
　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角
　　∴ AD⊥AB,DC⊥BC
　　∵ CH⊥AB,AH⊥BC
　　∴ DA‖CH,DC‖AH
　　∴ 四边形ADCH是平行四边形
　　∴ AH=DC
　　∵ M是BC的中点,O是BD的中点
　　∴ OM= 1/2DC
　　∴ OM= 1/2AH
　　∵ OM‖AH
　　∴ △OMG’ ∽△HAG’
　　∴AG/GM=2/1
　　∴ G’是△ABC的重心
　　∴ G与G’重合
　　∴ O、G、H三点在同一条直线上
　　如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.