如图所示，质量不计且足够长的倒L型支架下端固定在质量为2m的木板上，在其上端O处系一长为L的轻绳，绳的下端系一质量为m的小球，小球可视为质点．整个装置在光滑的水平面上以速度v0

Question

如图所示，质量不计且足够长的倒L型支架下端固定在质量为2m的木板上，在其上端O处系一长为L的轻绳，绳的下端系一质量为m的小球，小球可视为质点．整个装置在光滑的水平面上以速度v₀向右做匀速直线运动，水平面的右端为一矮墙．（重力加速度为g）
（1）若木板与墙壁相碰立即与墙壁粘合在一起，试求碰后小球上升至最高点时绳中的张力大小．（小球在运动过程中不与支架相碰）；
（2）若木板与墙壁相碰后以原速率反弹，要使绳的最大偏角不超过90°，则生产L应满足什么条件？

Answer 1

（1）当υ0≤√(2gL)时，小球右摆，且设球上升到最高点时绳与竖直方向的夹角为θ≤90⁰
对小球向上摆动的过程有：mgL(1−cosθ)＝(1)/(2)m

υ

2 0

小球在最高点时有：T=mgcosθ
解得张力：T=mg−(mυ20)/(2L)
当√(2gL)＜υ0＜√(5gL)时，绳松弛后小球做斜上抛运动，当小球上抛至最高点时绳仍松弛，
故张力T=0．
当υ0≥√(5gL)时，小球能做完整的圆周运动，设球运动到最高点时速度为υ，对小球从最低点到最高点的过程有：
(1)/(2)m

υ

2 0

−(1)/(2)mυ2＝mg•2L
小球在最高点时有：T+mg＝(mυ2)/(L)
解得张力为：T=(mυ20)/(L)−5mg
（2）若绳长为L₀时，碰后绳的最大偏角为90⁰，
绳的偏角最大时，球与木板的共同速度为υ
据动量守恒得：
2mυ₀-mυ₀=3mυ
据机械能守恒得：
mgL0＝(1)/(2)•3m

υ

2 0

−(1)/(2)•3mυ2
解得：L₀=(4υ20)/(3g)
所以当L满足 L≥(4υ20)/(3g)时，绳的偏角不超过90°
答：（1）若木板与墙壁相碰立即与墙壁粘合在一起，碰后小球上升至最高点时绳中的张力大小是(mυ20)/(L)−5mg
（2）若木板与墙壁相碰后以原速率反弹，要使绳的最大偏角不超过90°，则绳长L应满足条件是L≥(4υ20)/(3g)^．