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如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°,得到线段CQ,连接BP,DQ.(1)如图a,求证:△BCP≌△DCQ;(2)如图,延长BP交直线DQ于点E.①如图b,求证:BE⊥DQ;
题目详情
如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°,得到线段CQ,连接BP,DQ.
(1)如图a,求证:△BCP≌△DCQ;
(2)如图,延长BP交直线DQ于点E.
①如图b,求证:BE⊥DQ;
②如图c,若△BCP为等边三角形,判断△DEP的形状,并说明理由.
(1)如图a,求证:△BCP≌△DCQ;
(2)如图,延长BP交直线DQ于点E.
①如图b,求证:BE⊥DQ;
②如图c,若△BCP为等边三角形,判断△DEP的形状,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵∠BCD=90°,∠PCQ=90°,
∴∠BCP=∠DCQ,
在△BCP和△DCQ中,
,
∴△BCP≌△DCQ;
(2)①如图b,∵△BCP≌△DCQ,
∴∠CBF=∠EDF,又∠BFC=∠DFE,
∴∠DEF=∠BCF=90°,
∴BE⊥DQ;
②∵△BCP为等边三角形,
∴∠BCP=60°,∴∠PCD=30°,又CP=CD,
∴∠CPD=∠CDP=75°,又∠BPC=60°,∠CDQ=60°,
∴∠EPD=45°,∠EDP=45°,
∴△DEP为等腰直角三角形.
∴∠BCP=∠DCQ,
在△BCP和△DCQ中,
|
∴△BCP≌△DCQ;
(2)①如图b,∵△BCP≌△DCQ,
∴∠CBF=∠EDF,又∠BFC=∠DFE,
∴∠DEF=∠BCF=90°,
∴BE⊥DQ;
②∵△BCP为等边三角形,
∴∠BCP=60°,∴∠PCD=30°,又CP=CD,
∴∠CPD=∠CDP=75°,又∠BPC=60°,∠CDQ=60°,
∴∠EPD=45°,∠EDP=45°,
∴△DEP为等腰直角三角形.
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