一个关于集水浒卡的概率问题食品厂把印有水浒108将之一的画卡作为赠券装入某种儿童食品袋中,每袋一卡,求购买n袋这种食品而能收集齐全套画卡的概率.(就是对n进行分析,并且假设你购买了

Question

一个关于集水浒卡的概率问题
食品厂把印有水浒108将之一的画卡作为赠券装入某种儿童食品袋中,每袋一卡,求购买n袋这种食品而能收集齐全套画卡的概率.(就是对n进行分析,并且假设你购买了有限袋后,市场上的108将任何一将的卡仍然是等概率出现)
大家踊跃回答啊
问题补充
每个卡片都是印全的 并且假设你购买了有限袋后,市场上的108将任何一将的卡仍然是等概率出现
要求对具体的n进行分析 据说可以用容斥原理做
我现在看到的解答都不正确 请高手看看啊

Answer 1

虽然楼上误解了楼主的意思,但他的解释还是有道理的,至少他的理解更接近现实情况：只要厂家不是故意欺骗消费者,那么他们的产品中必然至少包含了1整套水浒卡；而厂家生产的产品必然是“有限的”,那么只要我们把厂家生产的所有产品都买了,就必然能集齐这套水浒卡.
但楼主的意思并不是这样的.“假设你购买了有限袋后,市场上的108将任何一将的卡仍然是等概率出现”——这个假设,就已经将产品总量设为无穷大了.所以我们不可能购买“所有”产品.自然也就不存在100%的“中奖率”了.

作为一个概率问题,本题可以用排列组合方法解决——显然,这是一个组合问题.我将其转化为以下问题：
设一个盒子内有108个编号不同的小球；从盒子中随机选取一个,记录其编号；然后将其放回盒子；重复此操作n次,得到n个编号记录.求：所记录的n个编号中,那108个小球的不同编号全部出现过的概率.
——这个问题可以保证每次取球时,选中某个球的概率都是1/108；
——当然,这里有一个默认条件：n≥108；否则最终的概率肯定是0.

我们所求的概率其实就是两个组合数的比值：
分母：所记录的n个编号中,所有可能的编号组合数；
分子：n个编号记录中,那108个编号,各至少出现1次的组合数；
它们其实都属于“可重组合”问题.就拿分母来说,它相当于,从108种数量均为无穷大的小球中,随机选取n个的组合数.这是最基本的可重组合问题,是有计算公式的：
C（n+k-1,n）；
——k代表上面的108；
——C（x,y）表示x选y的组合数.

至于分子,稍微复杂一点,可采用分步法求
（1）先将108个不同编号各记录1次——组合数为1；
（2）那么剩余的n-108次记录,就可以在108个编号中随便选择了——这又是一个基本的可重组合问题.那么分子的最终结果就是：
1·C（（n-k）+k-1,（n-k））；

代入k=108；可得所求概率：
p = C（n-1,n-108）/ C（n+107,n）；