找出椭圆（中心在原点上）的方程:离心率：e=1/3准线：x=3找焦点第二问：现有一个椭圆(中心不在原点)跟上面的椭圆公用一个焦点,e=1/3准线:x=3找出这个椭圆来

Question

找出椭圆（中心在原点上）的方程:
离心率：e=1/3 准线：x=3
找焦点
第二问：现有一个椭圆(中心不在原点)跟上面的椭圆公用一个焦点,e=1/3 准线:x=3 找出这个椭圆来

Answer 1

1、因为离心率e=1/3,准线为x=3,所以
c/a=1/3
a²/c=3
联立解方程组得a=1,c=1/3
进而求得b²=a²-c²=1-1/9=8/9,所以椭圆的方程为
x²+9y²/8=1
焦点为(±1/3,0)
2、很明显所求的椭圆焦点在x轴上,x=3是右准线
设椭圆中心为(xo,0),椭圆的方程为(x-xo)²/m²+y²/n²=1,(m>n>0),半焦距为c’,依题意有
c’²=m²-n² …………①
c’/m=1/3 …………②
(1)若公用焦点是(-1/3,0),那么这个公用焦点只能是新的椭圆的右焦点（如果是新的椭圆的左焦点,那么求出的是第一问的椭圆方程）.
依右焦点到右准线的距离=(a²/c)-c=b²/c得
3-(-1/3)=n²/c’ …………③
①②③联立解方程组得
m=5/4,n=5√2/6,c’=5/12
依焦点到中心的距离=c’得
-1/3-xo=5/12,解得xo= -3/4,故所求的椭圆的方程为
(x+3/4)²/(25/16)+y²/(25/18)=1
(2)若公用焦点是(1/3,0),那么这个公用焦点只能是新的椭圆的左焦点（如果是新的椭圆的右焦点,那么求出的是第一问的椭圆方程）.
依左焦点到右准线的距离=(a²/c)+c得
3-(1/3)=m²/c’+c’ …………④
①②④联立解方程组得
m=4/5,n=8√2/15,c’=4/15
依焦点到中心的距离=c’得
xo-1/3=4/15,解得xo=3/5,故所求的椭圆的方程为
(x-3/5)²/(16/25)+y²/(128/225)=1