已知椭圆x^2/a^2加y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2其右准线L与x轴的焦点为T过椭圆的上顶点A作椭...已知椭圆x^2/a^2加y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2其右准线L与x轴的焦点为T过椭圆的上顶

Question

已知椭圆x^2/a^2加y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2其右准线L与x轴的焦点为T过椭圆的上顶点A作椭...
已知椭圆x^2/a^2加y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2其右准线L与x轴的焦点为T过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线L的垂线垂足为D四边形AF1F2D为平行四四边形(1)求椭圆的离心率

Answer 1

已知椭圆x2/a2+y2/b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,其右准线l与x轴的交点为T,过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线l的垂线,垂足为D,四边形AF1F2D为平行四边形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设线段F2D与椭圆交于点M,是否存在实数λ,使TA＝λTM?若存在,求出实数λ的值；若不存在,请说明理由；
（3）若B是直线l上一动点,且△AF2B外接圆面积的最小值是4π,求椭圆方程．
（1）依题意：AD=F1F2,即
a^2/c＝2c,
所以离心率e＝根号2/2．
（2）由（Ⅰ）知：a＝根号2c,b=c,
故A（0,c）,D（2c,c）,F2（c,0）,T（2c,0）,TA＝(−2c,c)
所以椭圆方程是x2/(2c2)+y2/c2＝1,即x2+2y2=2c2,
直线F2D的方程是x-y-c=0
由,x2+2y2＝2c2
x−y−c＝0
解得：x＝0,y＝−c.（舍去）或,x＝4/3c,y＝1/3c
即M(4/3c,1/3c),TM＝(−2/3c,1/3c),所以TA＝3TM,
即存在λ=3使TA＝3TM成立．
（3）由题可知圆心N在直线y=x上,设圆心N的坐标为（n,n）,
因圆过准线上一点B,则圆与准线有公共点,
设圆心N到准线的距离为d,则NF2≥d,即根号[(n−c)2+n2]≥|n−2c|,
解得：n≤-3c或n≥c,
又r2＝(n−c)2+n2＝2(n−c/2)2+c2/2∈[c2,+∞)
由题可知,（πr2）min=c^2π=4π,则c^2=4,
故椭圆的方程为x2/8+y2/4＝1．