几何分布的方差公式如何推导?今天无聊想推导下几何分布的方差公式,但是推到一半思路被打劫了,我暂无灵感；然后我上网查,但是多是利用导数求导,可导数在后面一章咧,没学.请高手以最简

Question

几何分布的方差公式如何推导?
今天无聊想推导下几何分布的方差公式,但是推到一半思路被打劫了,我暂无灵感；然后我上网查,但是多是利用导数求导,可导数在后面一章咧,没学.请高手以最简便方法推导,最好能避开公式：D(X)=E(X^2)-[E(X)^2]进行推导.虽然这个公式我也会证明,但是我想看看有没有能用目前已学知识推导出方差公式,还是真的就要用到导数来推?最好是特级数学教师指点下,谢谢你们!

Answer 1

证明：Eξ=p+2qp+3q?p+…+k[q^(k-1)]p+…=p(1+2q+3q?+…) 设S=1+2q+3q?+…+nq^(n-1),则由qS=q+2q?+…+(n-1)q^(n-1)+nq^n 两式相减,得(1-q)S=1+q+q?+…+q^(n-1)-nq^n 故S=(1-q^n)/(1-q)?-nq^n/(1-q),则 S=limS=1/(1-q)?=1/p?,即Eξ=1/p E(ξ?)=p+2?qp+3?p+…+k?[q^(k-1)]p+… =p[1+2?q+3?+…+k?q^(k-1)+…] 对于上式括号中的求和,利用导数对q求导,即 q^(k-1)=(kq^k)`,有 1+2?q+3?+…+k?q^(k-1)+… =(q+2q?+3q?+…+kq^k+…)`(与求Eξ同样方法,得到) =[q/(1-q)?]` =[(1-q)?-2q(1-q)(-1)]/(1-q)^4 =(1+q)/(1-q)?=(2-p)/p?因此E(ξ?)=p[(2-p)/p?]=(2-p)/p?则Dξ=E(ξ?)-(Eξ)?=(2-p)/p?-(1/p)?=(1-p)/p?