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已知抛物线y=-(x-m)2+1与x数的交点为A,B(B在A的右边),与y轴的交点为C,顶点为D.(1)当m=1时,判断△ABD的形状,并说明理由;(2)当点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的负半轴上时,是
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已知抛物线y=-(x-m)2+1与x数的交点为A,B(B在A的右边),与y轴的交点为C,顶点为D.
(1)当m=1时,判断△ABD的形状,并说明理由;
(2)当点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的负半轴上时,是否存在某个m值,使得△BOC为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(1)当m=1时,判断△ABD的形状,并说明理由;
(2)当点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的负半轴上时,是否存在某个m值,使得△BOC为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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答案和解析
(1)将m=1代入y=-(x-m)2+1,
得y=-(x-1)2+1,即y=-x2+2x,
顶点D(1,1).
令y=0,得-x2+2x=0,解得x=0或2,
所以A(0,0),B(2,0),
∵AD2=(1-0)2+(1-0)2=2,BD2=(1-2)2+(1-0)2=2,AB=2,
∴AD=BD=
,AD2+BD2=AB2=4,
∴△ABD是等腰直角三角形;
(2)存在某个m的值,使得△BOC为等腰三角形.
∵当y=0时,-(x-m)2+1=0,即(x-m)2=1,
∴x1=m-1,x2=m+1.
∵点B在点A的右边,
∴A(m-1,0),B(m+1,0).
∵点B在x轴的正半轴上,
∴OB=m+1.
∵当x=0时,y=1-m2,点C在y轴的负半轴上,
∴OC=m2-1.
当△BOC为等腰三角形时,OB=OC,
∴m2-1=m+1,
整理得m2-m-2=0,
解得m=2或m=-1(因为对称轴在y轴的右侧,m>0,所以不合要求,舍去),
故存在△BOC为等腰三角形的情形,此时m=2.
得y=-(x-1)2+1,即y=-x2+2x,
顶点D(1,1).
令y=0,得-x2+2x=0,解得x=0或2,
所以A(0,0),B(2,0),
∵AD2=(1-0)2+(1-0)2=2,BD2=(1-2)2+(1-0)2=2,AB=2,
∴AD=BD=
2 |
∴△ABD是等腰直角三角形;
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-09/07/1536291732-8905.jpg)
∵当y=0时,-(x-m)2+1=0,即(x-m)2=1,
∴x1=m-1,x2=m+1.
∵点B在点A的右边,
∴A(m-1,0),B(m+1,0).
∵点B在x轴的正半轴上,
∴OB=m+1.
∵当x=0时,y=1-m2,点C在y轴的负半轴上,
∴OC=m2-1.
当△BOC为等腰三角形时,OB=OC,
∴m2-1=m+1,
整理得m2-m-2=0,
解得m=2或m=-1(因为对称轴在y轴的右侧,m>0,所以不合要求,舍去),
故存在△BOC为等腰三角形的情形,此时m=2.
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